Question

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；（II

Answer 1

（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以
an+1+an
an+an?1
=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即
an+1?3an
an?3an?1
=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=
1
4
?3n?
1
4
?(?1)n，
∴a1+a2+…an=
1
4
（31+32+33+…+3n）-
1
4
[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=
1
8
[3n+1+(?1)n+1?2]
（n∈N*）．

Answer 2

a【n+1】=3a【n】/( 2a【n】+1)
1/a【n+1】=(
2a【n】+1)/(3a【n】)
1/a【n+1】=(2/3)+1/(3a【n】)
1/a【n+1】-1=(2/3)+1/(3a【n】)-1=1/(3a【n】)-1/3=(1/3)(1/a【n】-1)
由上式可知，数列1/a【n+1】-1是以1/a1-1为首项，1/3为公比的等比数列
则有：1/a【n】-1=[(1/3)^(n-1)]*[1/a1-1]=[(1/3)^(n-1)]*[5/3-1]=(2/3)*(1/3)^(n-1)
可解得：a【n】=1/[1+(2/3)*(1/3)^(n-1)]