Question

已知在三角形ABC中，角B等于2倍角C，D为BC边的中点，BC等于2AB，连接AD。求证：三角形ABD是等边三角形。

Answer 1

第一步：先证明ABD是等腰三角形，很明显BC=2BD=2AB,所以BD=BA，故为等腰三角形；
第二步：取AD中点记为E，连接BE并延长交AC于F点，因为三角形BAD为等腰三角形，故BE既是中线，也是AD的垂线，同时又是角B的平分线，故角EBD=1/2角B=角C;此外，三角形AEF和BED相似，所以角EBD=角EAF；由此得到，角C=角EAF，所以AD=CD=BD=AB,三角形ABD为等边三角形。

Answer 2

做AC的垂直平分线DE交AC于E，则角C=角DAE，所以角ADB=角C+角DAE=角B，所以AB=AD,又AD是BC的中点，BC=2AB，所以AB=BD，又AB=AD，所以AB=AD=BD，所以三角形ABD是等边三角形

Answer 3

证明：作be平分∠abc交ac于e，则∠ebc=∠eba=∠c
∴△ebc中，eb=ec，连接ed，则ed⊥bc
在△abe与△dbe中
∠abe=∠dbe，be=be，bd=ba
∴△abe≌△dbe
∴∠bac=90º
从而
∠c=30º，∠abc=60º
∴△abd是等边三角形