Question

关于高数中柯西中值定理的证明

这个辅助函数是如何得出来的，求教。

Answer 1

就是定义一个关于x的函数
这样 就可以 直接对 F（x）求导数。
F'(X)=f'(x)-(f(b)-f(a)/(g(b)-g(a)))*g'(x)
由于F（a）=F(b)
所以满足 拉普拉斯中值定理
有 F‘（e）=0 既f'(e)-(f(b)-f(a)/(g(b)-g(a)))*g'( e)=0
所以
f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(e)/g'(e)

追问

直接设出来的？没有几何意义的吗？

追答

没有几何意义，就是为了方便帮助证明柯西中值定理成立

Answer 2

如何的出来的只能问柯西了好吧。。。你要能理解拉格朗日中值定理的构造这个就好理解了，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式（令g(x)=x）。几何意义就是x=g(t),y=f(t)表示的曲线F(x)在[a,b]上存在一点的切线斜率等于端点连线斜率

追问

拉格朗日那个我能理解，可是柯西中值定理里面的辅助函数我就弄不懂它的几何意义，它说和拉格朗日的几何意义一样，我怎么看也不像一样啊。。。

追答

我其实已经说了，本质上差不多的：几何意义就是x=g(t),y=f(t)表示的曲线F(x)在[a,b]上存在一点的切线斜率等于端点连线斜率。就是说这里的x,y都是关于某个变量t的参数式而已