Question

积分,二重积分,三重积分,它们的几何意义与物理意义各是什么

Answer 1

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。

二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

积分的线性性质：

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数）

比较性：

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则 

估值性：

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则 

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。 

二重积分中值定理：

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得 

扩展资料：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

如函数  ，其积分区域D是由  所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。

(1)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数，则：

(2)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数，则：

(3)如果Ω与Ω’关于平面y=x对称，则：

参考资料：百度百科——三重积分

参考资料：百度百科——二重积分

Answer 2

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。
二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。
三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。