Question

数列{an}中,a1=1,an=a(n-1)+n,求{an}的前n项和

Answer 1

先递推总结规律，然后再证明
an=[a(n-1)
1]/a(n-1)
a1=1=1/1
a2=(1
1)/1=2/1
a3=(2
1)/2=3/2
a4=(3/2
1)/(3/2)=(3
2)/3=5/3
a5=(5/3
1)/(5/3)=8/5
从第3项开始，an=a/b中,分子a是a(n-1)的分子分母之和，b是a(n-2)的分子分母之和。
a和b都是菲波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...每一项都是前两项的和，只不过a,b错开了一个。
菲波那契数列fn的通项公式为：fn={[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}/√5.
（注：√5表示根号5）
这样
a=f(n
1)={[（1＋√5）/2]^(n
1)
－
[（1－√5）/2]^(n
1)
}/√5.
b=fn={[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}/√5.
因此an=a/b
=f(n
1)/fn
={[（1＋√5）/2]^(n
1)
－
[（1－√5）/2]^(n
1)
}/{[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}
an的具体证明如下，用数学归纳法，对于a1，a2验证成立。
假设对所有n<=k均成立。由假设ak=f(k
1)/fk
当n=k
1时，
a(k
1)=(ak
1)/ak
=[f(k
1)/fk
1]/[f(k
1)/fk]
=[(f(k
1)
f(k))/fk][f(k
1)/fk]
由菲波那契数列的性质，f(k
1)
f(k)=f(k
2)
因此
a(k
1)
=[f(k
2)/fk]/[f(k
1)/fk]
=f(k
2)/f(k
1)
对n=k
1也成立。综上，对所有n属于n*都成立
证毕

Answer 2

+n
=n(n+1)/...！.5*(1+2+……n)=(1+n)*n/.5n
Sn=a1+a2+a3+……an
s1=0.5n^2+0.因为an=a(n-1)+n
an-a(n-1)=n
a2-a1=2
a3-a2=3
a4-a3=4
;2
an=n(n+1)/2
s2=0...
an-a(n-1)=n
用叠加法得
an-a1=2+3+4+5+.+n
因为a1=1
所以an=1+2+3+4+;2
=0.5*(1^2+2^2+3^2+……n^2)=（这个有公式吧