Question

解方程组的解法

Answer 1

　　例1 用两种不同的方法解方程组

　　

　　解法1 由（1）得 （3）

　　（3）代入（2）中，得

　　 ，

　　即 .

　　解之，得

　　代入（3）中，得 .

　　∴ 原方程组的解是

　　解法2 由（2）得 ，

　　∴ 或 .

　　∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组

　　

　　∴ 原方程组的解是

　　说明：解法1是代入消元法，具体思维过程是：先消元，再把原方程组转化为一元二次方程；解法2是分解因式法，具体思维过程是：先降次，再把原方程组转化为两个二元一次方程组.两种解法，各有千秋，但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

　　选题角度：关于用两种方法解方程组的题目

　　例2 解方程组：

　　

　　分析：一些含有 、 、 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.

　　

　　解法1 由（1）得 ， （3）

　　由（3）代入（2），整理，得

　　 .

　　解得 .

　　把 分别代入（3），得

　　 .

　　∴ 原方程组的解是

　　解法2 把 、 看作一元二次方程 的根

　　解得 .

　　∴ 原方程组的解是

　　

　　解法1 由（2）得： . （3）

　　把（3）代入（1），整理，得

　　

　　解得 .

　　把 分别代入（3），得

　　 .

　　∴ 原方程组的解是

　　解法2 把（2）式左右两边平方得：

　　 ， （3）

　　（3）－（1）得 ，

　　即

　　把x、y看作方程 的根，

　　解得 .

　　∴ 原方程组的解是

　　说明：显然，此处（1）、（2）题中解法二都比解法一快捷、简便，但要求能较好地理解一元二次方程根与系数的关系及熟练掌握 、 、 、 之间的运算关系.

　　选题角度：关于利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题的题目

　　例3 为何值时，方程组

　　

　　有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

　　分析：将一次方程代入二次方程，将之化为关于 的一元二次方程来解之.

　　解：

　　由（2），得

　　 （3）

　　将（3）代入（1），得

　　

　　即 ， （4）

　　

　　∵ 当 ，即 ，即 或 时，方程（4）有两个不相等的实根，所以方程组有两组不同的实数解.

　　因为当 ，即 ，即 时，方程（4）有两个相等的实根，所以方程组有两组相同的实数解.

　　说明：方程组相同的实数解，应看作一组解.

　　选题角度：关于含有字母系数的方程组的解的情况；

　　例4 A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

　　解：设甲、乙的速度分别为x千米/时，y千米/时，根据题意，得

　　

　　解方程组，得

　　

　　答：略.

　　说明：（2）式实际上是一个二元二次方程，即 .

　　选题角度：关于列方程组解应用问题的题目

　　例5 解方程组

　　分析：用代入法求解。

　　解 由（2），得 （基本方法）（3）

　　将（3）代入（1），得

　　

　　整理，得 ， .

　　将 代入（3），得

　　 原方程的解为

　　说明：上述解法属一般方法。如果仔细观察方程组的特点，会发现另一种解法，即把方程（1）化为 ，结合（2），从而得到 ，这样，原方程就转化为一个二元一次方程组，即 其解法如下：

　　由（1），得 （4）

　　将（2）代入（4），得 ，于是组成新方程组，即

　　解这个方程组，得

　　 原方程组的解是

Answer 2

方程组的解法主要有代入消元法、加减消元法和换元法等。

Answer 3

代入消元法
加减消元法