Question

已知微分方程y″+y=xe^x的一个特解是1/2（x-1）e^x，则该微分方程的通解是

Answer 1

令y(x)=u(x)*e^{x}带入化简可得:u''+2u'+2u-x=0
令v(x)=u(x)+(1-x)/2带入化简可得:v''+2v'+2v=0
解得v(x)=(Acosx+Bsinx)*e^{-x}
从而u(x)=v(x)+(x-1)/2=(Acosx+Bsinx)*e^{-x}+(x-1)/2
从而y(x)=u(x)*e^{x}=Acosx+Bsinx+[(x-1)/2]*e^{x}

一般在特解不知的情况下,观察非线性项,上面方法可以给出通解.
依你的题意,给出了特解[(x-1)/2]*e^{x},微分方程的通解就是y''+y=0之解Acosx+Bsinx与特解的和.
也就是把方程的非线性项去掉,解出线性方程的通解,再叠加特解.