Question

一道关于圆的几何题

Answer 1

解：设圆Q是Rt△ABC的内切圆，r为圆Q的半径，设圆Q与AC、BC、AB的切点分别为E、F、G，
连结QE、QF、QG、QA、QB、QC
因为QE⊥AC，QF⊥BC，QG⊥AB
所以，
△ABC的面积
=△QAC的面积+△QAB的面积+△QBC的面积
=0.5rb+0.5rc+0.5ra
=0.5r(b+c+a)
=0.5r(a+b+c)
且△ABC的面积=0.5ab
所以，0.5r(a+b+c)=0.5ab
所以，r=ab÷(a+b+c)
因为a^2+b^2=c^2
所以，a^2+2ab+b^2-c^2=2ab
所以，
(a+b)^2-c^2=2ab
(a+b+c)(a+b-c)=2ab
所以，ab÷(a+b+c)=0.5(a+b-c)
所以，r=0.5(a+b-c)
所以，Rt△ABC的内切圆半径为0.5(a+b-c)