Question

中值定理的证明

Answer 1

(1)证：假设对于任意x∈[0,1]，f(x)﹤0，
那么f(x)/x﹤0，由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0，矛盾，
假设对于任意x∈[0,1]，f(x)﹥0，
那么f(x)/(x-1)﹤0，由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0，矛盾，
∴存在ζ1,ζ2∈(0,1)使f(ζ1)﹥0，f(ζ2)﹤0，
又∵f(x)在ζ1与ζ2之间连续，
∴由零点定理知存在ζ在ζ1与ζ2之间使f(ζ)=0，
∴存在ζ∈(0,1)使f(ζ)=0。

(2)证：f(0)=f(1)=0，f′(0)=1，f′(1)=2，
设g(x)=f(x)/e^x，∴g(x)在[0,1]上可导，g(0)=g(1)=0，
∴由罗尔中值定理知存在η1∈(0,1)使g′(η1)=0，
即(f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1)/e^(2η1)=0，
∴f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1=0，
设h(x)=f′(x)·e^x-f(x)·e^x，
∴h(0)=1，h(η1)=0，h(1)=2e，h(x)在[0,1]上连续，
∴存在η2∈(η1,1)使h(η2)=1，∴h(0)=h(η2)，
又∵h(x)在[0,η2]上可导，
∴由罗尔中值定理知存在η∈(0,η2)使h′(η)=0，
即f″(η)·e^η+f′(η)·e^η-f′(η)·e^η-f(η)·e^η=0，
∴f″(η)·e^η-f(η)·e^η=0，∴f″(η)=f(η)，
∴存在η∈(0,1)使f″(η)=f(η)。