Question

求2011海南高考试题及解析（急急急）

Answer 1

一．总体分析：
表一：全卷平均分
2011年高考全省总考生各学科成绩全卷平均分(全体考生)
科类 科目 实考人数 平均分 最高分 最低分 0分人数
文史类 数学（文） 20471 44.75 144.00 0 77
理工类 数学（理） 33310 58.70 145.50 0 25

2011年高考全省总考生各学科成绩全卷平均分(应届考生)
科类 科目 考生人数 平均分 最高分 最低分 0分人数
数学（文） 19297 44.56 144.00 0 76
数学（理） 30407 58.45 145.50 0 21

表二：文理各题平均分
1．理科
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题
3.32 3.79 3.69 3.71 3.25 1.71 2.03 1.76 2.88 2.24
3.33 3.81 3.70 3.70 3.27 1.73 2.03 1.76 2.90 2.23
第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题
1.54 1.13 1.75 2.42 1.52 0.10 4.64 4.39 6.82 1.22 1.77
1.54 1.12 1.77 2.45 1.53 0.10 4.68 4.43 6.84 1.20 1.79

题号
平均分 第22题 第23题 第24题
人数 3600 17180 9627
平均 1.26 2.52 3.80

2．文科
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 　
1.97 3.53 2.76 3.59 3.14 3.28 1.99 1.13 2.73 1.83 　
1.98 3.54 2.77 3.60 3.14 3.28 1.99 1.14 2.73 1.83 　
第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题
1.59 0.85 1.75 1.05 0.62 0.78 2.56 1.57 5.22 0.62 0.93
1.60 0.85 1.75 1.06 0.63 0.79 2.58 1.58 5.27 0.61 0.93

题号
平均分 第22题 第23题 第24题
人数 3303 11644 4350
平均 0.48 0.82 2.17

表三：客观题各选项具体分布统计表
2011年高考数学（文）客观题各选项具体分布统计表(全体考生)
题目
选项 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题
A 9708 1213 2250 707 3726 13432 2543 6746 2129 3349 3818 3499
B 8108 2295 11347 3446 12850 3369 8148 5580 4747 4936 5146 3547
C 2165 14506 4447 1578 2047 3060 5494 3445 11173 7506 4924 5893
D 487 2447 2413 14731 1841 598 4239 4684 2412 4662 6565 7507
其他 3 10 14 9 7 12 47 16 10 18 18 25

2011年高考数学（理）客观题各选项具体分布统计表(全体考生)
题目
选项 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题
A 2192 2162 4619 24657 3010 10812 8766 5546 6733 14859 10282 5304
B 1999 25370 24632 2804 21801 6877 13496 6851 4317 5288 7834 8749
C 22209 3077 1769 4620 4956 4047 8371 9113 19297 6759 8013 11712
D 6894 2681 2260 1197 3508 11533 2603 11732 2933 6349 7118 7477
其他 16 20 30 32 35 41 74 68 30 55 63 68

表四：海南省2011年文理科数学高考试卷知识比重分布表:
知识点 　 代 数 概率统计 几 何 选做

内容 集合 函数 三角 导数与定积分 复数 不等式 算法 向量 计数原理 逻辑用语 数列 概 率 统 计 立体几何 解析几何 平面几何 极坐标与参数方程 不等式选讲

文科 题号 1 3 10 12 7 11 15 21 2 14 5 13 　 　 17 6 19 8 16 18 4 9 20 22 23 24

分值 5 15 15 12 5 5 5 5 0 0 12 17 22 22 10 10 10
理科 　 　 2 12 5 11 16 9 21 1 13 3 　 8 10 17 4 19 6 15 18 7 14 20 22 23 24

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 10 10 10
　 分值 0 10 15 17 5 5 5 0 5 5 12 17 22 22 10 10 10
文科比值 0.53 0.11 0.29 0.07
理科比值 0.53 0.11 0.29 0.07
纵观整张试卷，今年的试卷知识比例文理科达到了一致，函数知识占有比重为53%，几何知识占有的比重为29%，概率统计知识占有的比重为11%，选做题占有的知识比重固定为7%.函数,几何,概率统计等《课标》知识的主线仍然是试题中考查的主线,整张试卷内容结构保持稳定，其占有比例也与《课标》中课时的比例基本吻合。经过几年的磨合, 《大纲》与《课标》也越来越一致了，对于中学教学来说,思想就更能统一,课改也必然能稳步推进.

表五：海南省2011年文理科数学高考试卷结构及分值分布表:
海南省高考文科试题分析
题型 题号 理科知识点 文科知识点 分值
一.选择题 1 复数 集合 5
2 函数单调性 复数 5
3 程序框图 同理2 5
4 概率 解析几何（离心率） 5
5 三角 同理3 5
6 三视图 同理4 5
7 解析几何（离心率） 同理5 5
8 二项式 同理6 5
9 定积分 与理7为姊妹试题 5
10 逻辑用语（命题） 函数（零点判断） 5
11 三角 三角 5
12 函数综合 与理12为姊妹试题 5
　 总计 60
　
二.填空题 13 简单线性规划 向量 5
14 解析几何 同理13 5
15 立体几何 解三角形 5
16 解三角形 立体几何 5
　 总计 20
　
三.解答题
17 数列 数列 12
18 立体几何 与理18为姊妹试题 12
19 概率统计 与理19为姊妹试题 12
20 解析几何 解析几何 12
21 导数 与理21为姊妹试题 12
　 总计 60
　
四.选答题 22 平面几何 文理同题 10
23 参数方程 文理同题 10
　 总计 文理同题 10
　 　 总分 150
从本次试卷的结构上来看, 试卷已经形成了课改区的试卷特色——超量命题,限量答题；从分值分布上看，近5年试卷分值保持了一贯性，选择题(1～12题)和填空题(13～16题)的分值均为每小题5分，解答题17～21题每题均为12分，选答题10分；从试卷层次上看，文理有9道同题不同号试题和5道姊妹试题，这说明试卷既关注了文理科考生在数学思维水平上有差异，又在文理科考察中对于内容相同部分，充分考虑到相同层次的考查和文理科在考察方式和能力层次上的区别。

表六：
海南省近四年高考第二卷得分统计表
年份 科目 填空 17 18 19 20 21 22 二卷总分
2008 文科 5.28 1.82 3.72 5.68 0.5 0.87 2.03 19.9
理科 5.91 7.05 1.41 2.23 1.59 0.67 3.17 22.03
2009 文科 3.02 1.46 0.48 4.12 1.16 1.23 1.1 12.57
理科 4.15 2.2 2.38 2.14 2.34 0.94 2.71 16.86
2010 文科 4.63 4.49 2.21 3.52 0.81 1.21 1.51 18.38
理科 6.4 2.07 0.99 3.6 0.77 3.16 3.9 20.89
2011 文科 4.21 2.56 1.57 5.22 0.62 0.93 1.07 16.17
理科 5.84 4.68 4.43 6.84 1.20 1.79 2.79 27.57
今年高考平均分理科为58.70分，文科44.75分；最高分理科为146分，文科为144分。文科平均水平近几年没有什么大的变化,但高分段今年有明显进步;理科平均水平及高分段则有明显的上升.要整体提高海南数学水平，还需要努力。
二．试题分析：
重视双基的考查，关注文理的差异
2011年高考数学试题没有让人眼前一亮的创新试题，但是试题注重基础，强调通法，不偏不怪。选择题对基础知识、基本技能的考查，循序渐进，层次清晰，12道小题总体立意简明，内涵丰富，覆盖面广,有很强的知识背景。注重基础，基本上没有难题、怪题，且均为贴近课本的容易题或中等题，涉及数学各分科常见的知识点，考生容易进入角色，有效地发挥了“门坎效应”。解答题的设计充分注意知识的内在联系，从不同角度、不同层次考查综合、灵活应用基础知识、基本技能的能力。试题保留了课改区的特色，但也充分关注到文理科的差异。
程序框图，三视图，概率统计，平面几何，不等式，极坐标与参数方程等深深打上课改区特色的创新试题在本次试卷中都有体现，尤其是文理科的的第19题统计概率，出题者这几年保持了一贯风格，将统计与概率融为一体,这种学科的整体意识对于高中数学教学就是一个很好的导向性。正因为如此，海南近几年在概率统计教学中获得了比较大的进步，理科第19题有一万多份满分卷，而文科也有四千多份满分卷，创下历年高考之最。
从选填题的角度来看,文理科均为常规基础题，16道小题有6道文理科同题，还有几道是难度接近的姐妹题.由于文理科考生在数学思维水平上有差异，而对数学的要求也不完全相同，试题比较好地把握住了这种情况，在文理科考察内容大致相同的情况之下，在考察方式和能力层次上加以区别。例如理科第1题与文科第2题,同为复数问题,文理科均考查了复数的代数形式运算,但理科试题中增加了共轭复数的考查;理科第7题与文科第9题同为解析几何试题,都是利用通径找图形的数量关系,理科考查双曲线,文科考查抛物线,两者解答思想方法均为解答思想方法均为数形结合,但在计算量上理科明显高于文科,因此合理区分了不同层次的考生．尽管两道题在思路上基本相同，但在计算量和问题的层次上，理科显然高于文科，合理区分了文理在考察知识要求上的区别。
1．复数 的共轭复数是
A． B．
C． D．
7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点， 为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
A． B． C．2 D．3

关注知识来源，融数学思想方法于试题之中
今年海南省高考调研测试题，沿着近年高考命题改革的正确方向，强调由知识立意向能力立意转化，强调基础与能力并重，知识与能力并举，悉心在知识交汇处设计试题，有效地将数学思想蕴含于数学基础之中。如理科第5题(文科第7题)考查三角函数的定义及倍角公式知识基础,但要求对概念的内涵掌握到位;理科第4题(文科第6题)考查古典概型,同样题型常规,但需要找到思维切入点.
5．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 =
A． B．
C． D．
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． B． C． D．
理科第11题(文科第11题)理科考查三角函数,都是将函数化为最简形式 ,进而求函数的单调区间;但理科含有参变量,需要利用已知条件求出参变量.试题小而巧，容量大,突出教材重心，难度合适,对学生的基础知识的积累要求高,灵活检测了学生的综合应用能力。
11．设函数 的最小正周期为 ，且 ，则 A． 在 单调递减 B． 在 单调递减 C． 在 单调递增 D． 在 单调递增
理科第12题(文科第12题)都是考查函数图象的中心对称问题.文科使用基本初等函数,理科需要将图象平移变换,图象的交点也需要注意增长快慢, 体现数形结合的思想,题目富有创意，依稀看到2008年第21题的风采.考察了学生的推理能力,也检查了学生对知识归纳能力,独巨匠心,对数学教学也提供了一个指导的方向.
12．函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于 A．2 B．4 C．6 D．8
理科第16题考查解三角形,以 “边角互化”思想将边关系转化为角关系,依稀有2006年高考题第17题的风采.
在 中， ，则 的最大值为 。
6．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为

解答题试题评析
文理科第17题均考察了数列。2010年高考试题理科考察了“累加法”求数列通项公式，以“错位相减法”求和;今年理科考查了 “拆项求和”,试题常规,知识基础.连续两年数列试题,保持了数列考察的稳定性.
文理科第18题（为姊妹试题）均为立体几何试题，本道试题主要考查立体几何中直线直线垂直、线面垂直、面面垂直的的循环转化，二面角大小的求法，线面平行的探究性问题的解法以及逻辑推理能力、空间想象能力，注重空间数量关系与位置关系的转化。
文理理科第19题(为姊妹试题)均为概率统计题,试题较好地将统计与概率作为一个整体来考察,将概率与统计,离散型随机变量与连续型随机变量有机地融为一体,完备地考查了概率的知识，在试题的设计上独具匠心，值得欣赏.总体感觉是,概率统计试题已经成为海南高考试题中一道靓丽的风景线.
理科第20题(为姊妹试题)均为解析几何试题.理科用向量的语言阐述条件, 求动点的轨迹方程,以不等式为载体,求点到直线的最小距离;文科以方程思想求圆的方程,,利用直线与圆的位置关系求参数.本题考查圆锥曲线定义、简单几何性质以及研究圆锥曲线的基本方法和方程思想，对思维能力，和运算能力的要求定位较恰当．
文理科第21题(为姊妹试题)均为导数试题,延续了2010年导数试题的风格,具有较强的高等数学知识的背景.尤其是理科试题,第Ⅰ问反向考查了导数的几何意义，利用切点的“双重身份”，以方程思想来求参数；第Ⅱ问延续了2010年方向，利用导数来研究不等式。这两年导数试题可谓“用心良苦”，因为其既包含了中学导数的主体知识，又具有高等数学的背景：如果从高等数学角度来看，2010年的导数试题其实质是利用导数来研究函数的凸性与拐点问题，而今年的导数试题的实质是利用导数来研究函数的间断点问题。由于其压轴题特性,我们看看理科本题第Ⅱ问的三种解法：
解法一（有国家考试中心提供）：
由（I）知， ，
令 （ ， ），
即
考虑函数 （ ），则

且：
（i）若 时，当 ，且 时， ，故函数y= 在区间（0，+ ）上为单调递增函数。
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
故 ，当 ，且 时，
（ii）当 时， 时， ，故函数y= 在区间 上为单调递增函数。
当 时， ，所以 ，
与题设矛盾
（iii）当 时，此时 ， 在 上是增函数，
当 时，，
与题设矛盾
综上所述， 的取值范围是 ．
解法二（考生常用方法）：
由 得：
设：
则
设
则
设
则 ，显然 时， ； 时，
故函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。
从而知 ，即 ，
故： ，
所以，函数 在区间 上为增函数，在区间 上也为增函数。又
显然 时， ； 时， 。
故 时，函数 <0; 时, 函数 >0.
所以，函数 函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。
由于 ，显然，函数 的下确界为-1
从而知函数 的下确界为0
则
解法三（考生常用方法）：
=
显然， 时，若 ，则函数 ，与题意矛盾，故
设 故 =0
则
，令 ，得：
（ⅰ）若 时，则 ，
则 时， ； 时， 。
所以，函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数
故
所以函数 在区间 上为减函数。
显然 时， ； 时， 。
从而 时， ； 时， 。
故 ，当 ，且 时， ----3分
（ⅱ）当 时，则
则 时， ，所以，函数 在区间 上为增函数。所以当 时， ，故函数 在区间 上为增函数。所以当 时， ，故 ，与题设矛盾。
（ⅲ）当 时， ，则 时， ，所以，函数 在区间 上为增函数；故当 时， ，故 ，与题设矛盾。
综上知， 。
从本质上说，解法二代表了本题真正意图，只是由于中学数学中已经没有了极限的知识，所以，作者在解法上避开了上述知识。实际上，无论哪种解法，都必须避开间断点，只是技巧不同而已。
从考生角度而言，第Ⅰ问空白卷很少。这既是这几年海南中学在导数的教学有了进步标志，同时说明导数作为主干知识，大家已经比较重视。第Ⅱ问由于本题用中学知识的常规方法来解，会出现三阶导数且需要高明的技巧避开间断点，所以，考生有点不知所措。即使有几位同学求到了三阶导数，但也没有勇气再在分离间断点下功夫。所以，本题最后得分为1.81分，主要是在第Ⅰ问中拿到的。

对比2010年导数：
设函数 = .
（Ⅰ）若 ，求 的单调区间;
（Ⅱ）若当x≥0时 ≥0，求a的取值范围.
国家考试中心提供：
解：（1） 时， ， .
当 时， ；当 时， .故 在 单调减少，在 单调增加
（II）
由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故
，
从而当 ，即 时， ，而 ，
于是当 时， .
由 可得 .从而当 时，
，
故当 时， ，而 ，于是当 时， .
综合得 的取值范围为 .
解法二：（考生常用解法）
（II） =
当 时， ，而 ，于是当 时， .
当 时，由 = ≥0，得
显然，函数y= 与函数y= 都经过点（0，1）
如图所示：若 ，则显然函数y= 增长率要快于函数y= 的增长率，即：
，即： ，从而有：
设函数 = ，则 =
设 = ，则 = 0
所以函数 在区间 上为增函数，故
从而： 0，所以函数 = 在区间 上为增函数。
又 。故而：
综合上述：