Question

数学 实数x，y，z满足x平方+y平方+z平方=1,则xy+yz的最大值是多少？

Answer 1

设k是(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值(显然k>0)
即k=(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)
所以x^2+y^2+z^2=(xy+yz)/k
所以(x-y/√2)^2+(z-y/√2)^2=(xy+yz)/k-√2(xy+yz)
由于k是(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值
所以(xy+yz)/k-√2(xy+yz)=0,所以k=√2/2
当且仅当x=z=y/√2时取到等号

Answer 2

解：∵
X^2+1/2*Y^2≥2*X*Y*√（1/2）=√2*X*Y
①
Z^2+1/2*Y^2≥2*Z*Y*√（1/2）=√2*Y*Z　②
∴①+②得
X^2+1/2*Y^2+Z^2+1/2*Y^2≥√2*X*Y+√2*Y*Z
则
X^2+1*Y^2+Z^2≥√2(X*Y+Y*Z)
从而
X*Y+Y*Z≤(X^2+1*Y^2+Z^2)/√2=1/√2=√2/2
∴xy+yz的最大值是√2/2.

Answer 3

解：∵
x²+1/2·y²≥2xy√（1/2）
化简：x²+1/2·y²≥(√2)xy
①
同理
z²+1/2·y²≥(√2)yz　②
①+②得x²+1/2·y²+z²+1/2·y²≥(√2)xy+（√2)yz
化简：x²+y²+z²≥(√2)xy+（√2）yz
即:(√2)xy+（√2）yz≤1
xy+yz≤√2/2
∴xy+yz的最大值是√2/2.