Question

一道初中难题，求详解↓

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12/13．
(1)如图10，当点E与点C重合时，求CM的长；
(2)如图11，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应)，求AP的长． 特别是第三问有两种情况，点E在AC边时与在BC边时求详解↓

Answer 1

⑴AC=√(AB^2-BC^2)=40
SΔABC=1/2*AC*BC=600
SΔABC=1/2*AB*EP=25EP
∴EP=24，
∵EP∶EM=12∶13，∴EM=26
⑵RTΔAEP∽RTΔABC，
AP∶AC=AE∶AB=PE∶BC，
∴AE=5/4X，EP=3/4X
∵EP/EM=12/13，EM=13/16X，
∴根据勾股定理可得：PN=PM=5/16X，
∴Y=BN=50-AP-PN=50-X-5/16X=50-21/16X
由0<AE<40得：0<X<32
⑶∵△AME∽△ENB，∴AM∶EM=EN∶NB
AM=AP-PM=11/16X，EN=EM=13/16X，
∴11/16X∶13/16X=13/16X∶(50-21/16X)
X=22，即AP=22

Answer 2

（1）CP=30*40/50=24 CM=24*13/12=26
（2）16Y=800-21X （0<X<32 ， 7<Y<50）

Answer 3

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12/13．
(1)如图10，当点E与点C重合时，求CM的长；
(2)如图11，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应)，求AP的长． 特别是第三问有两种情况，点E在AC边时与在BC边时求详解↓
(1)解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50
∴AC=40
∵PE⊥AB，EM=EN，sin∠EMP=12/13
当点E与点C重合时，AC^2=AP*AB==>AP=AC^2/AB=40^2/50=32
PE=√(AE^2-AP^2)=24
∴CM=PE/sin∠EMP=24*13/12=26

(2)解析：当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y
∵sin∠EMP=12/13==> tan∠EMP=12/5
PM=PN=EP/ tan∠EMP=5EP/12
tanA=BC/AC=3/4==>EP=xtanA=3x/4==>PM=PN=5/12*3/4*x=5/16x
∴BN=AB-AP-PN=50-x-5/16x=50-21/16x (0<x<32)
∴y=50-21/16x (0<x<32)

(3)解析：∵△AME∽△ENB
当点E在AC边上时，设AP=x
EM/BN=AM/EN==>EM^2=BN*AM
由(2)知EP=3/4x==>EM=EP*13/12=13/16x，PM=5/16x
AM=AP-PM=11/16x
∴169/256x^2=(50-21/16x)11/16x
解得x=22
即，AP=22
当点E在BC边上时，设AP=x，则PB=50-x
tanB=PE/PB=AC/BC=4/3==>PE/(50-x)=4/3==>PE=4/3*(50-x)
EM=PE/sin∠EMP=4/3*(50-x)*13/12=13/9*(50-x)
tan∠EMP=PE/PM=12/5==>PM=PE*5/12=4/3*(50-x)*5/12=5/9*(50-x)
AM=AP-PM=x-5/9*(50-x)=14/9x-250/9
BN=PB-PM=(50-x)-5/9(50-x)=4/9(50-x)
∵EM^2=BN*AM
(13/9)^2*(50-x)^2=4/9(50-x)*(14/9x-250/9)
169(50-x)=8(7x-125)
解得x=42
即，AP=42