Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=1/2an+1。 证明:数列{|an-1/2|}为单

Answer 1

(1)
a(n+1)=3an+1
a(n+1)+1/2=3an+
3/2=3(an
+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an
+1/2)=3，为定值
a1+
1/2=1+
1/2=3/2
数列{an
+1/2}是以3/2为首项，3为公比的等比数列
(2)
an+
1/2=(3/2)·3^(n-1)=3ⁿ/2
an=3ⁿ/2
-1/2=(3ⁿ-1)/2
n≥1，an≥(3-1)/2=1>0
1/an>0
1/a1=1/1=1
[1/a(n+1)]/(1/an)=an/a(n+1)
=(3ⁿ-1)/[3^(n+1)-1]
=(1/3)[3^(n+1)-3]/[3^(n+1)-1]
=(1/3)[1-
2/[3^(n+1)
-1]]
=1/3
-2/[3^(n+2)
-3]
2/[3^(n+2)-3]>0
1/3
-2/[3^(n+2)
-3]<1/3
(1/3)[1-
2/[3^(n+1)
-1]]<1/3
/以上几步推导是为了运用放缩法作准备
1/a1+1/a2+...+1/an
<1+1·(1/3)²+1·(1/3)^(n-1)
=1×(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)
=(3/2)(1-
1/3ⁿ)
=3/2
-3/(2×3ⁿ)
3/(2×3ⁿ)>0
3/2-3/(2×3ⁿ)<3/2
1/a1+1/a2+...+1/an<3/2，不等式成立。
提示：第二问运用放缩法，把数列求和转化为熟悉的等比数列求和，这种方法是证明关于数列求和的不等式成立的最常用也是最基础的方法。