Question

求求大神解答！！！！！！！！！

已知cos(α-β)=1/2,sin2α=1/3,且2α,β都是锐角,求cos(α+β)的值

Answer 1

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；（1）
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）

由（2）-（1）得：

2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)

sin2α=cos(α-β)-cos(α+β)

1/3=1/2-cos(α+β)

cos(α+β)=1/2-1/3=1/6.

追问

2sinαsinβ=sin2α？

追答

2sinαsinβ=sin2α是的，可以查看三角函数二倍角公式。

追问

那不是。。。2sinαcosα么。。

追答

晕，对不起，看眼花了，没想到这道题目这么麻烦啊！

sin2a=2sinacosa=1/3；

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；

因为2α、β都是锐角；
由sin2α=1/3得：
cos2α=√1-sin²2α=√8/9=2√2/3；

由cos(α-β)=1/2得：
sin(α-β)=±√[1-cos²(α-β)]=±√3/2，

因为cos2α=cos(α+α)=2√2/3>1/2=cos(α-β)，

如果α-β>0的话，都在第一象限的角，那么α-β>2α；-α>β；不可能；

所以：α-β<0，取sin(α-β)=-√3/2

cos(α+β)
=cos(-α-β)
=cos[(α-β)-2α]
=cos(α-β)cos2α+sin(α-β)sin2α
=1/2×2√2/3+(-√3/2)×1/3
=2√2/6-√3/6
=(2√2-√3)/6

再看看，有没有错误，居然花费了那么多的时间。

追问

。。。。谢谢