Question

设Xn=(1-1/2^2)(1-1/3^2)…(1-1/n^2)，证明当n→无穷大是Xn的极限存在

Answer 1

（1）证明：由归纳假设知，0＜xn≤1，n=1，2，3，…，
又xn+1=sinxn≤xn，
由单调有界准则可知此数列极限存在；
令a＝
lim
n→∞
xn，则由xn+1=sinxn，得a=sina，
故
lim
n→∞
xn＝a＝0；
（2）解：∵
lim
n→∞
(
xn+1
xn
)
1
x
2
n
＝
lim
n→∞
(
sinxn
xn
)
1
x
2
n
=
lim
x→0
(
sinx
x
)
1
x2
＝e
lim
x→0
ln(
sinx
x
)
x2
=e
lim
x→0
sinx?x
x3
＝e
lim
x→0
cosx?1
3x2
＝e?
1
6
．

Answer 2

解：显然它是单调递减的：∵Xn+1/Xn=1-1/（n+1）²＜1.
显然它是有下界的：Xn＞0
由单调有界性原理，Xn的极限存在。
个人见解，仅供参考。