Question

如图所示，在三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，

Answer 1

作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
∴S△ABD/S△ACD=1/2AB*DE=1/2AC*DF=AB/AC
又∵S△ABD/S△ACD=BD/CD（高相等）
∴AB:AC=BD:CD
方法二:
解：
过点C做AB的平行线
交AD延长线点E
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵AB∥DE
∴∠BAD=∠CED
∴△AEC是等腰三角形∴AC=CE
∵AB∥DE
∴AB:CE=BD:CD
∵AC=CE
∴AB:AC=BD:CD

Answer 2

如图，在ac上取一点f，使得ae=af，连接of
∵ad是三角形abc的角平分线
∴∠eao=∠fao
∵ao=ao
∴△aeo≌△afo（sas）
∠aoe=∠aof
∵ce是三角形abc的角平分线
∴∠ace=∠bce
在△aoc中
∠aoc=180°-∠fao-∠aco=180°-1/2(∠acb+∠bac）=120°
∵∠aoe+∠aoc=180°
∴∠aoe=60°则∠cod=60°
∠cof=60°
∴∠cod=∠cof
∵co=co
∴△cod≌△cof(asa)
cd=cf
∴ae+cd=af+cf=ac