Question

设x1=1.xn+1=1+1/xn,证明其收敛并求其极限

华中科技大学微积分辅导27页第四题第3小题

Answer 1

x1=1 x(n+1)=1+1/xn得出xn>=1 

所以1<=xn<=2

所以有极限 x(n+1)=1+1/xn 

两边同时求极限并设极限为a 

得出a=1+1/a a>0

解得 a=(1+5^0.5)/2

迭代算法的敛散性

1.全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

Answer 2

x1=1 x(n+1)=1+1/xn得出xn>=1 所以1<=xn<=2所以有极限 x(n+1)=1+1/xn 两边同时求极限并设极限为a 得出a=1+1/a a>0解得 a=(1+5^0.5)/2