Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线。求证：AD²=AB×AC-BD×DC

Answer 1

在∠ADC内做射线DE，使∠ADE=∠B
∵ ∠BAD=∠DAE
∴ △BAD∽△DAE
∴ AB：AD=AD：AE
∴ AD的平方=AB×AE

∵ ∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
又∵ ∠ADE=∠B
∴ ∠BAD=∠CDE
∴ ∠CDE=∠CAD
又∵ ∠C=∠C
∴ △CDE∽△CAD
∴ CD：CA=CE：CD
∴ CD的平方=CA×CE……………………①

又根据角平分线的性质
BD：CD=AB：AC…………………………②
①×②得
BD×CD=AB×CE

所以， AD的平方=AB×AE=AB×AC-AB×CE=AB×AC-BD×CD
得证！