Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+an＝1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+an＝1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝(n－2)an,且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：数列{2^nTn}为等差数列。

Answer 1

s(n)+a(n)=1
1=s(1)+a(1)=2a(1)=s(n+1)+a(n+1)=1
0=s(n+1)+a(n+1)-s(n)-a(n)
a(n+1)=(1/2)a(n)
{a(n)}首项为1/2,公比为1/2的等比数列
a(n)=1/2^n
bn=(n-2)an=(n-2)*1/2^n
Tn=-1*1/2+0+1*1/2^3+2*1/2^4+...+(n-2)*1/2^n
1/2Tn=-1*1/2^2+0+1*1/2^4+2*1/2^5+...+(n-2)*1/2^(n+1)
Tn-1/2Tn=-1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^n-(n-2)*1/2^(n+1)
1/2Tn=1+1/2*(1/2^n-1)/(1-1/2)-(n-2)*1/2^(n+1)
Tn=2+2(1/2^n-1)-(n-2)*1/2^n=2*1/2^n-n*1/2^n+2*1/2^n=(4-n)*1/2^n
所以cn=2^nTn=4-n
cn-c(n-1)=4-n-4+(n-1)=-1.(为定值)
即数列{2^nTn}为等差数列.

Answer 2

(1)
∵S1+a1=1
即a1+a1=1
∴a1=1/2

∵S[n+1]+a[n+1]=1
即Sn+a[n+1]+a[n+1]=1
∴Sn=1-2a[n+1]
又Sn=1-an
∴an=2a[n+1]
即a[n+1]/an=1/2
∴an是公比为1/2的等比数列，首项为1/2

∴an=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n
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(2)
bn=(n-2)an
=(n-2)/(2^n)

∵ Tn=b1+b2+b3+b4+......b[n-1]+bn
Tn=-1/2+0/4+1/8+2/16+......(n-3)/2^(n-1)+(n-2)/2^n ①式

∴ 2Tn=-1+0/2+1/4+2/8+......+(n-3)/2^(n-2)+(n-2)/2^(n-1) ②式

②式-①式得：
Tn=-1 +1/2+1/4+1/8+....+1/2^(n-2)+1/2^(n-1) -(n-2)/2^n
=-1 +1/2+1/4+1/8+....+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)+1/2^n -(n-1)/2^n
=-1 +1/2*(1-1/2^n)/(1-1/2) -(n-1)/2^n
=-1 +1-1/2^n -(n-1)/2^n
=-1/2^n -n/2^n +1/2^n
=-n/2^n

∴ 2^nTn= -n

令数列｛cn｝=｛2^nTn｝=｛-n｝即有：
c[n+1]-cn=-(n+1)-(-n)=-1
说明数列｛cn｝是首项为-1，公差为-1的等差数列。

Answer 3

s(n)+a(n)=1
1=s(1)+a(1)=2a(1)=s(n+1)+a(n+1)=1
0=s(n+1)+a(n+1)-s(n)-a(n)
a(n+1)=(1/2)a(n)
a(n)=1/2^n
bn=(n-2)an=(n-2)*1/2^n
Tn=-1*1/2+0+1*1/2^3+2*1/2^4+...+(n-2)*1/2^n
1/2Tn=-1*1/2^2+0+1*1/2^4+2*1/2^5+...+(n-2)*1/2^(n+1)
Tn-1/2Tn=-1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^n-(n-2)*1/2^(n+1)
1/2Tn=1+1/2*(1/2^n-1)/(1-1/2)-(n-2)*1/2^(n+1)
Tn=2+2(1/2^n-1)-(n-2)*1/2^n=2*1/2^n-n*1/2^n+2*1/2^n=(4-n)*1/2^n
所以cn=2^nTn=4-n
cn-c(n-1)=4-n-4+(n-1)=-1 即列{2^nTn}为等差数

Answer 4

dvcs