Question

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且二根不相等，有如下结论：

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且二根不相等，有如下结论：x1=2,x2=3；m>-1/4；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图像与x轴交点的横坐标为2和3 正确的的个数有 ？ 求答案加解释

Answer 1

答：

一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1和x2
就是抛物线f(x)=(x-2)(x-3)与直线y=m存在两个不同的交点
x=(2+3)/2=5/2时，f(x)取得最小值：
f(x)>=f(5/2)=(1/2)*(-1/2)=-1/4
所以：m>-1/4——结论2）正确
当m=0时，x1=2，x2=3——结论1）不正确
y=(x-x1)(x-x2)+m
y-m=(x-x1)(x-x2)
因为：f(x)=(x-2)(x-3)=m
所以：f(x)-m=(x-2)(x-3)=y-m
所以：x1=2，x2=3——结论3）正确

正确的是2）和3），1）不正确

Answer 2

(x-2)(x-3)=m，
——》x^2-5x+6-m=0，
由两不等的实数根，
——》判别式△=25-4(6-m)>0，
——》m>-1/4；
二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=(x^2-5x+6-m)+m=(x-2)(x-3)，
——》与x轴交点的横坐标为2和3，
所以结论正确的个数为2个。

Answer 3

第一个结论，用代入法，x1=2,代入原方程，得0=m，没有这条件，所以错误
第三个结论等同于第一个结论，所以也是错误的。
第二个结论这样看，把原方程化解成ax²+bx+c=0 的形式，即x²-5x+6-m=0
方程有两个不相等的实数根，所以b²-4ac＞0，即（-5）²-4*（6-m）＞0
25-26-4m＞0，所以m>-1/4

只有第二个结论是正确的，正确的个数只有一个