Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点。求证:EF垂直B1C

急```谢谢帮忙啊~~

Answer 1

证明：
(1)
连接A1D
过点E做A1D的平行线EG交A1D1于点G，连接GF，
过G点做AD的垂线GM交AD于M，连接MF，
因为A1D平行于B1C
又因为EG平行A1D
所以EG平行B1C
则欲证EF垂直B1C，只需证EF垂直EG.
因为正方体的棱长为2
所以A1D=根号下8，BD=根号下8
又因为E是B1D1的中点，EG平行A1D
所以EG=根号下2，FD=1
因为F为BD中点，所以DF=根号下2
则EF=根号下3
因为GM垂直于AD，G是A1D1的中点
所以M是AD中点，且MF=1/2AB=1
那么在直角三角形GMF中，GM=2,MF=1
则GF=根号下5
而在三角形EGF中，边EG=根号下2，EF=根号下3，GF=根号下5
则EG方+EF方=GF方
根据勾股定理有EF垂直于EG
则得证EF垂直B1C
(2)连接BD1,AB1,AC,A1B
因为E,F分别为D1B1,BD1的中点，则EF平行BD1
又因为DD1垂直于面ABCD
所以DD1垂直AC,
而在正方形ABCD中，AC垂直于BD，
而DD1垂直AC
所以AC垂直面DD1B
则AC垂直D1B
同理可证D1B垂直AB1
则D1B垂直于面AB1C
所以D1B垂直于B1C
则EF垂直于B1C