Question

直线2x+3y+6=0与圆x^2+y^2+2x-6y+m=0，圆心C交与A,B两点，若CA垂直CB，求m

Answer 1

圆方程：x^2+2x+1+y^2-6y+9=10-m
(x+1)^2
+
(y-3)^2
=
10-m
圆心C(-1,
3)
圆方程所有系数乘以9，得：9x^2+(3y)^2+18x-18*(3y)+9m=0
直线：3y=-2x-6
代入：9x^2+(-2x-6)^2+18x-18(-2x-6)+9m=0
整理得：13x^2+78x+144+9m=0
(1)、因为CA垂直CB
所以CA与CB的斜率的乘积为-1
[(x1+1)/(y1-3)]*[(x2+1)/(y2-3)]=-1
(x1+1)(x2+1)+(y1-3)(y2-3)=0
x1x2+(x1+x2)+1+(4/9)x1x2=0
(13/9)*(144+9m)/13+(-6)+1=0
m=-11
(2)、当CA、CB中有一条垂直于x轴时，此时斜率不存在
将x1=-1代入13x^2+78x+144+9m=0
解得m=-79/9
所以x2=-5
y2=4/3≠3
可知，当其中一条垂直于x轴时，另一条不平行于x轴，不符合题意
综上，m只有唯一解m=-11