设随机变量X与Y相互独立且服从正态分布N(μ,σ^2)与N(μ,2σ^2),σ>0,设Z=X-Y
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(i)
因为x,y相互独立且均服从于正态分布,所以z=x-y也服从于正态分布.
又因为:
e(z)=e(x-y)=e(x)-e(y)=μ-μ=0,
d(z)=d(x-y)=d(x)+d(y)=3σ2,
所以:z~n(0,3σ2),
从而可得z的概率密度为:
fz(z,σ2)=
1
2π
3
σ
e?
z2
2?3σ2
=
1
6π
σ
e?
z2
6σ2
,-∞<z<+∞.
(ii)
σ2的最大似然函数为:
l(σ2)=
n
π
i=1
f(zi;σ2)=
n
π
i=1
(
1
6π
σ
e?
zi2
6σ2
),-∞<zi<+∞,i=1,2,…,n.
两边取对数,得:
ln
l(σ2)=
n
i=1
(?ln
6
π?
1
2
lnσ2?
zi2
6σ2
),
对上式两边求导,得:
d lnl(σ2)
dσ2
=
n
i=1
(?
1
2σ2
+
zi2
6(σ2)2
)=
1
6(σ2)2
(?3nσ2+
n
i=1
zi2).
令:
d lnl(σ2)
dσ2
=0,
可得:σ2=
1
3n
n
i=1
zi2,
所以σ2的极大似然估计量为:
σ
2=
1
3n
n
i=1
zi2.
(iii)
因为:e
σ
2=
1
3n
n
i=1
e(zi2)=
1
3n
?ne(z2)=
1
3
(d(z)+(e(z))2)=
1
3
(3σ2+0)=σ2,
所以
σ
2为σ2的无偏估计.
因为x,y相互独立且均服从于正态分布,所以z=x-y也服从于正态分布.
又因为:
e(z)=e(x-y)=e(x)-e(y)=μ-μ=0,
d(z)=d(x-y)=d(x)+d(y)=3σ2,
所以:z~n(0,3σ2),
从而可得z的概率密度为:
fz(z,σ2)=
1
2π
3
σ
e?
z2
2?3σ2
=
1
6π
σ
e?
z2
6σ2
,-∞<z<+∞.
(ii)
σ2的最大似然函数为:
l(σ2)=
n
π
i=1
f(zi;σ2)=
n
π
i=1
(
1
6π
σ
e?
zi2
6σ2
),-∞<zi<+∞,i=1,2,…,n.
两边取对数,得:
ln
l(σ2)=
n
i=1
(?ln
6
π?
1
2
lnσ2?
zi2
6σ2
),
对上式两边求导,得:
d lnl(σ2)
dσ2
=
n
i=1
(?
1
2σ2
+
zi2
6(σ2)2
)=
1
6(σ2)2
(?3nσ2+
n
i=1
zi2).
令:
d lnl(σ2)
dσ2
=0,
可得:σ2=
1
3n
n
i=1
zi2,
所以σ2的极大似然估计量为:
σ
2=
1
3n
n
i=1
zi2.
(iii)
因为:e
σ
2=
1
3n
n
i=1
e(zi2)=
1
3n
?ne(z2)=
1
3
(d(z)+(e(z))2)=
1
3
(3σ2+0)=σ2,
所以
σ
2为σ2的无偏估计.
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