Question

设随机变量X与Y相互独立且服从正态分布N(μ,σ^2)与N(μ,2σ^2)，σ>0,设Z=X-Y

Answer 1

（i）
因为x，y相互独立且均服从于正态分布，所以z=x-y也服从于正态分布．
又因为：
e（z）=e（x-y）=e（x）-e（y）=μ-μ=0，
d（z）=d（x-y）=d（x）+d（y）=3σ2，
所以：z～n（0，3σ2），
从而可得z的概率密度为：
fz(z，σ2)=
1
2π
3
σ
e?
z2
2?3σ2
=
1
6π
σ
e?
z2
6σ2
，-∞＜z＜+∞．
（ii）
σ2的最大似然函数为：
l（σ2）=
n
π
i＝1
f(zi；σ2)=
n
π
i＝1
(
1
6π
σ
e?
zi2
6σ2
)，-∞＜zi＜+∞，i=1，2，…，n．
两边取对数，得：
ln
l（σ2）=
n

i＝1
(?ln
6
π?
1
2
lnσ2?
zi2
6σ2
)，
对上式两边求导，得：
d lnl(σ2)
dσ2
=
n

i＝1
(?
1
2σ2
+
zi2
6(σ2)2
)=
1
6(σ2)2
(?3nσ2+
n

i＝1
zi2)．
令：
d lnl(σ2)
dσ2
=0，
可得：σ2=
1
3n
n

i＝1
zi2，
所以σ2的极大似然估计量为：

σ
2=
1
3n
n

i＝1
zi2．
（iii）
因为：e

σ
2=
1
3n
n

i＝1
e(zi2)=
1
3n
?ne(z2)=
1
3
（d（z）+（e（z））2）=
1
3
（3σ2+0）=σ2，
所以

σ
2为σ2的无偏估计．