Question

高三数学解析几何

已知椭圆C的方程x方/a方+y方/b方=1，点A，B分别为其左右定点，点F1F2分别为其左右焦点，一点A为圆心，AF1为半径作圆A，以点B为圆心，OB为半径做圆B，若直线y=（根号3）/3x被圆A与圆B截得的弦长之比为根号15/61.求圆C离心率2.一直a=7,是否存在点P使过点P有无数条直线被两圆节的的弦长之比为3/4，若存在求出所有点P的坐标

Answer 1

解:设直线AB:y=kx b,而k=tan45°=1,即直线AB:y=x b.
联立直线方程和抛物线方程解方程组得点A,B的坐标,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由抛物线:Y^2=4x,得:x=y^2/4.......(1)
将(1)代入直线方程得:y=y^2/4 b,即:y^2-4y 4b=0
由韦达定理:y1 y2=4, y1y2=4b...........(2)
由(1)(2)得:x1 x2=4-2b, x1x2=b^2..........(3)
∵OA⊥OB, ∴OA与OB的斜率之积等于-1,
而OA的斜率=y1/x1, OB的斜率=y2/x2, ∴y1y2/(x1x2)=-1
即:4b/b^2=-1,∴b=-4, 直线AB:y=x-4
联立抛物线方程:Y^2=4x和直线方程:y=x-4,解得:A(6 2√5,2 2√5), B(6-2√5,2-2√5),
∴三角形OAB的面积=OA×OB/2=8√5

Answer 2

解设P（m,n）,Q(m,-n),M(x,y),又A(-2,0),B(2,0).AP方程(m+2)y-nx-2n=0,BQ方程(m-2)y+nx-2n=0,联立解得m=4／x,n＝2y／x.P在椭圆上，带入椭圆方程得x�0�5／4－y�0�5／2=1.