Question

.已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C． （

.已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（3）存在．
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标：Q1（2根号2-2，0）；
②如图2，方法同①，Q2（-2根号2-2，0）；
③如图4，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标：Q3（6-2根号6 ，0）；
④如图3，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即MQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标：Q4（6+2根号6 ，0）．

Answer 2

（1）可将A，B两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式．进而求出对称轴的解析式和定点的坐标；
（2）由于二次函数和等腰梯形都是轴对称图形，可根据抛物线的对称轴和C点的坐标求出D的坐标．然后用待定系数法求出A，D所在直线的解析式．

（3）分四种情况进行讨论：
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标．
②如图2，方法同①．
③如图3，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标．
④如图4，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即DQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标．解答：解：（1）根据题意，得4a-2+c=036a+6+c=0​，
解得a=-
14c=3​，
∴抛物线的解析式为y=-
14x2+x+3，
顶点坐标是（2，4）；

（2）D（4，3），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线经过点A（-2，0）、点D（4，3），
∴-2k+b=04k+b=3​，
∴k=
12b=1​，
∴y=12x+1；

（3）存在．
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标：Q1（22-2，0）；
②如图2，方法同①，Q2（-22-2，0）；
③如图4，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标：Q3（6-26，0）；
④如图3，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即MQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标：Q4（6+26，0）．

Answer 3

解：将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+x+c得：4a-2+c=0；36a+6+c=0；解得a=-1/4，C=3。
（1）解析式为：y=-1/4x2+x+3
（2）先求C点坐标，因为C点交Y轴，所以X=0，代入解析式y=-1/4x2+x+3，则得到Y=3，所以C点坐标为（0，3）。
再求D点坐标：因为ABDC为等腰梯形，所以AB//DC，所以D点的Y坐标为3，将Y=3代入解析式y=-1/4x2+x+3，则得到-1/4x2+x=0，解得X=0或X=4，根据题意X=0是C点，X=4是D点，所以D点坐标为（4，3）。
（3）不存在，因为如果存在，则有PQ//AM。则PQ斜率与AM相同，根据代入计算的二次方程式的根的判别为应大于0，实际计算不为0。