Question

设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]

设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x｜f(x)=x}.

若A={2}，且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值要非常非常详细的解答

Answer 1

解：A={2}，即方程f(x)=x只有一个解，即
ax^2+(b-1)x+c=0只有一个解x=2，即
-(b-1)/a=x1+x2=4
c/a=x1x2=4
所以b=1-4a，c=4a
f（x）=ax^2+(1-4a)x+4a
对称轴为:（4a-1)/(2a)=2-1/(2a)≥2-1/2=3/2 (a≥1)
所以3/2≤（4a-1)/(2a)≤2，即
x=(4a-1)/(2a)时f（x）有最小值m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)
x=-2时f（x）有最大值M=4a-2（1-4a）+4a=16a-2
g(a)=M+m=[-(1-4a)^2+16a^2]/(4a)+16a-2 (a≥1)
=16a-1/(4a) (a≥1)
所以当a=1时，g（a）有最小值=63/4

Answer 2

解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两实根．
∴1+2=1-ba2=ca，解得a=1，b=-2
∴f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，
f（x）min=f（1）=1，即m=1；
当x=-2时，f（x）max=f（-2）=10，即M=10．

（2）由题意知，方程ax2+（b-1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，
根据韦达定理得到：1+1=1-ba1=ca，即b=1-2ac=a，
∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其对称轴方程为x=2a-12a=1-12a
又a≥1，故1-12a∈[12，1)
∴M=f（-2）=9a-2
m=f(2a-12a)=1-14a
则g（a）=M+m=9a-14a-1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=314