Question

已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三个问题请详细解答，谢谢。

Answer 1

解：（1）∵在Rt△OAB中OA=
3
，AB=2
3
，
∴OB=
AB2−OA2
＝3，
∴点A（
3
，0），点B（0，3）．
则由

3a＋
3
b＋c＝0

c＝3
−
b
2a
＝
3

，
解得：a=1，b=−2
3
，c=3，
∴C1的解析式为：y=x2-2
3
x+3=(x−
3
)2．
则点A关于y轴的对称点为（−
3
，0），
相当于C1向左平移了2
3
个单位，
∴C2的解析式为：y＝(x＋
3
)2；

（2）作BB′∥x轴交C2于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．
此时AB′即为△APB所形成三角形的最小周长．两点之间线段最短．
∵点A（
3
，0），点B（0，3），
∴E（−
3
，0），
∴B′（-2
3
，3），
则设直线AB′为y=kx+b，代入A，B′得：

0＝
3
k＋b

3＝−2
3
k＋b

．
解得：k=−

3

3
，b=1，
∴直线AB′解析式为：y=−

3

3
x＋1，
代入对称轴x=-
3
，则y=2，
∴点P（−
3
，2）；

（3）如图：存在，
知道点A，B设直线AB为y=mx+n，
代入解得：y=-
3
x+3，即y+
3
x−3＝0，
设点D（x，(x−
3
)2），则BD=
2x2−2
3
x−6

，
则点D到直线的距离CD．
知道OA=
3
，OB=3，AB=2
3
，
若△DCB与△AOB相似，则
BD
AB
＝
CD
OB
或
BD
AB
＝
CD
OA
，
代入
BD
AB
＝
CD
OB
，
则点D（1，4-2
3
），
检验点D符合，
代入
BD
AB
＝
CD
OA
，
则点D（3，12-6
3
），
检验符合，
∴点D（1，4-2
3
）或（3，12-6
3
）．

Answer 2

没图，题目还不完整。