Question

高中数学基本不等式证明题

已知a，b，c，d，m，n＞0，且a平方+b平方=m平方，c平方+d平方=n平方，m≠n，ac+bd≤p，求p最小值。如下是错解，请交代其错误原因，并写出正解：
ac+bd≤（a平方+c平方）/2 +（b平方+d平方）/2 =≤（a平方+b平方）/2 +（c平方+d平方）/2=（m平方+n平方）/2
所以p最小值是（m平方+n平方）/2

Answer 1

根据公式(m^2)+(n^2)>=2mn
有(xy)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (a^2)(c^2)+ (b^2)(d^2)+( (a^2)(d^2)+ (c^2)(b^2) )
>= (a^2)(c^2)+ (b^2)(d^2)+ 2abcd
即(xy)^2 >=（ ac+bd）^2
有因为它们都是正实数，所以xy >=ac+bd

追问

x是什么，y又是什么

追答

就是你的题中的mn

Answer 2

原解法错在第一步，此处要求a=c，b=d，这样m=n，不符合题意。
可以这样想：
m²n²=(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²≥a²c²+b²d²+2adbc (当且仅当ad=bc时等号成立)
=(ac+bd)²
∵ a，b，c，d，m，n＞0
∴ mn≥ac+bd (当且仅当ad=bc时等号成立)
故 p的最小值为mn。
当然，合肥三十六中x用三角函数来解这道题是最简单的方法。

Answer 3

a²+b²=m²
c²+d²=n²
ac+bd≤(a²+c²)/2+(b²+d²)/2=(a²+b²)/2+(c²+d²)/2=m²/2+n²/2
m≠n
取不到等号

Answer 4

a=mcosx b=msinx
c=ncosy d=nsiny
ac+bd=mncos(x-y)≤p
因为p≥mncos(x-y)恒立所以p大于或等于mncos(x-y)的最大值。而mncos(x-y)的最大值为mn
所以p的最小值为mn

Answer 5

涉及4个数的不等式的证明最好用柯西不等式，很简单的，(ac+bd)²<=(a²+b²)(c²+d²)
a²+b²=m² c²+d²=n² 所以(ac+bd)²<=(a²+b²)(c²+d²)=m²n²
所以p最小值为mn