Question

由曲线x^2+y^2=|x|+|y|围成的图形面积

Answer 1

这个方程图像想一个四叶草的图案，四个象限的面积均相等，只要求出第一象限的面积，乘上4就可以求出整个图形的面积

求第一象限的面积比较简单

此时x，y>0

移项，变形可得    （x-0.5)^2+(y-0.5)^2=0.5

这是一个圆心为（0.5,0.5） 半径为2^0.5/2的圆

可求第一象限所围成的圆面积 为Pi/4  中间的正方形的面积可求  为2

所以面积为Pi+2

追问

答案是 2+pai

Answer 2

x^2+y^2=|x|+|y|
x^2-|x|+1/4+y^2-|y|+1/4=1/2
(|x|-1/2)^2+(|y|-1/2)^2=1/2
易知曲线关于两坐标轴及原点对称，
在第一象限内，曲线是个以(1/2,1/2)为圆心、根2/2为半径、经过原点的圆，面积为1/2*πI*(根2/2)^2+1/2*1*1=π/4+1/2，所以总面积为(π/4+1/2)*4=π+2

Answer 3

解：
先看第一象限的
x^2+y^2=x+y，配方一下(x-0.5)^2+(y-0.5)^2=0.5
这是一个圆心在P(0.5,0.5)半径为Sqrt(2)/2的弧。 其中Sqrt为根号
该弧与坐标轴的交点为A(0,1)和B(1,0)
该弧与坐标轴所围成的面积=圆的面积-2*弧AO与y轴所夹的弓形面积
由三角关系得：PAO为直角
弓形面积为:1/4圆的面积-三角形PAO的面积=1/4*PI*0.5-0.5*0.5=PI/8-0.25
于是弧与坐标轴所围成的面积=圆的面积-2*弧AO与y轴所夹的弓形面积=PI*0.5-2*(PI/8-0.25)=PI/4+0.5由对称性，可知，曲线所围成的面积为上述面积是4倍
即PI+2 （PI是“派”）