Question

设α1,α2,α3,β均为3维向量,则下列命题正确的是（）

设α1,α2,α3,β均为3维向量,则下列命题正确的是（）
（1）若β不能由α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3必线性相关
（2）若β不能由α1,α2,α3线性表示，则α1,α2,α3必线性无关
（3）若α1,α2,α3线性相关，则β必可由α1,α2,α3线性表示
（4）若α1,α2,α3线性无关，则β必可由α1,α2,α3线性表示
A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（4） 答案选的是C

Answer 1

你可以，从第（4）出发，α1,α2,α3线性无关，β必可由α1,α2,α3线性表示

因为当β不能由α1,α2,α3线性表示，则考虑

k1α1+k2α2+k3α3+k4β=0 已知β不能由α1,α2,α3线性表示，则k4=0 ，否则

当k4不等于0时，通过移项可知 β可由α1,α2,α3线性表示 与假设不相符

又α1,α2,α3线性无关，那么k1=k2=k3=0 从而知道 k1=k2=k3=k4=0
得出α1,α2,α3，β 线性无关，表明 3维空间里有4个线性不相关的向量 ，矛盾

可知（4）对了
（1）与（4）是互为逆否命题。那么（1）对了
至于（3）与（2），可知是错的！！

Answer 2

选项(4)是一个定理，而命题（1）与（4）互为逆否命题，因而同真假，所以选C。