Question

微分方程 y(x+t)=y(x)*y(t), x,t范围都是负无穷到正无穷，x=0时，导数为a，求y(x) 答案是e^(ax),求详解，

我算到y(nx)=[y(x)]^n,没有思路了。
详解，不要猜，我也能猜到。
追加分30谢谢！

Answer 1

这道题不用这么麻烦，考点就是导数的定义。
首先令x＝t＝0可得y(0)=0或y(0)=1，若y(0)=0，则令t＝0知道y(x)恒等于0，导数不会为a，
因此y(0)=1。
于是a＝lim 【y(t)－y(0)】/t，当t趋于0时，
于是y'(x)=lim 【y(x+t)－y(x)】/t
＝lim y(x)*【y(t)－y(0)】/t＝a*y(x)，
由此微分方程可知
【e^(－ax)y(x)】'
＝e^(－ax)*【y'(x)－ay(x)】
=0，即e^(－ax)y(x)恒等于e^(－a0)*y(0)=1，
于是y(x)=e^(ax)。

Answer 2

y(x)= y(x+0)=y(x)y(0)=>y(0)=1
y(x+Δx)=y(x)y(Δx)
y'(x)=lim(Δx->0)[y(x)y(Δx)-y(x)]/Δx
=lim(Δx->0)y(x)[y(Δx)-1]/Δx
=lim(Δx->0)y(x)[y(Δx)-y(0)]/Δx
=y(x)y'(0)=ay(x)
∫dy/y=∫dx
y=e^(ax)+C, y(0)=1, c=0
y=e^(ax),

追问

谢谢，虽然没给你最佳，额，怎么给你分？