Question

根号下1-x^2/x的不定积分

上限为1下限为根号2/2用换元的思想怎么做

Answer 1

具体回答如下：

令x=secy，dx=secytany dy

∫ √(1-x²) / x dx

= ∫ tany / secy * secytany dy

= ∫ tan²y dy

= ∫ (sec²y-1) dy

= tany - y + C

= √(1-x²) - arcsec(x) + C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

你好！

用三角换元

令x=sinu

再把积分上下限带入即可

追问

我就是用这个换到1/sinu这里我不知道1/SINU的原函数怎么求

追答

这是个公式
做题的时候可以直接用
推导方法有很多，比如换元 t = tan(u/2)
就变成了 ∫ 1/t dt = ln|t| = ln| tan(u/2)|= ln|(1-cosu)/sinu|

Answer 3

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

拓展资料

这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x² dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。

要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

Answer 4

结果是(1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθdu，dx = cosθ dθ

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

扩展资料

为了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵循如下条件：

1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；

2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是间断的）；

3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角。

Answer 5

解：令x=sint（-1≦t≦1），则dx=costdt,∫[√(1-x²)/x]dx=∫(cost/sint)costdt=∫(cos²t/sint)dt
=∫[(1-sin²t)/sint]dt=∫（1/sint）dt-∫sintdt=㏑|sint|+cost