Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA

（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD

Answer 1

证：
∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15°
∴AC=BC,∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°
∴DA=DB,∠ADB=120°,又DC=DC
∴△ACD∽△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°
∴DE平分∠BDC

连接CM,
∵DC=DM,∠CDM=60°
∴△CDM为等边三角形
∴∠ADC=∠EMC=120°
∵CE=CA
∴∠DAC=∠MEC
∴△ADC≡△EMC
∴ME=AD=BD

Answer 2

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
BD=AD∠CBD=∠CADBC=AC，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．

Answer 3

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC​，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．

Answer 4

瞧瞧，这才是正解
证明:(1)因为AC=BC,角ACB=90度,则:角CAB=角CBA=45度;
又角CAD=角CBD=15度,则:角DAB=角DBA=30度,得DA=DB(等角对等边).
连接CD.因为CD=CD,DA=DB,CA=CB.
故:三角形CAD全等于三角形CBD,则:角ACD=角BCD=45度.
故:角BDE=角DAB+角DBA=60度;
角CDE=角CAD+角ACD=60度.
所以,DE平分角BDC.
(2)证明:连接CM.
因为CD=DM;角CDM=60度,则:三角形CDM为等边三角形,CM=CD;角CMD=60度.
故:角CME=120度;又角CDB=180度-角BCD-角CBD=120度.
所以,角CME=角CDB;又CM=CD(已证);角CEM=角CBD=15度.
所以,三角形CME全等于三角形CDB(AAS),得:ME=BD.

额，好像有点狂妄了，呵呵······

Answer 5

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC，∠DAC=∠MEC，AC=EC
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．