Question

若x1、x2是方程x²-2kx+1-k²=0的两实数根，则x1²+x2²的最小值是

Answer 1

由韦达定理，得
x1x2=1-k²
x1＋x2=2k
又x1,x2是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根，
所以
δ=4k²-4＋4k²≥0
8k²≥4
k²≥1/2
即
k≥√2/2或k≤-√2/2
所以
x1
²+x2²
=（x1＋x2）²-2x1x2
=4k²-2＋2k²
=6k²-2
最小值=6×1/2-2=3-2=1