Question

求大神帮忙。 计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积。

求大神帮忙。 计算由曲面z=4-x^2-y^2与z=x^2+y^2所围立体的体积。（用微积分，二重积分有关方法解）

Answer 1

解：所求体积=∫∫<S>[(4-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]dxdy (S是所求立体体积在xoy平面上的投影：x^2+y^2≤2)
=∫∫<S>[4-2(x^2+y^2)]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(4-2r^2)rdr (作极坐标变换)
=2π∫<0,√2>(4r-2r^3)dr
=2π(4-2)
=4π。

追问

请问r的取值范围怎么求的？

追答

r的取值范围要根据极坐标定义确定。比如，此题积分区域是圆，它的半径是2，所以r的取值范围就是0≤r≤2。你可以参看高数极坐标变换章节。