Question

（2006•凉山州）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8

（2006•凉山州）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒．
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．
我就要第三问

Answer 1

过B点做AD的垂线交AD于E。
梯形高为：BE=√(AB^2-(DA-BC)^2)=2√3
运动时间t的最大值为：
(AB+BC)/2=(4+6)/2=5秒
符合题意的圆，P点不可能在AB上，因为如果P在AB上，Q必定在AE上(Q的速度是P的一半)，那么，PQ≦AB(直角三角形内的所有线段以斜边最大)，即圆的直径≦4，
这时如果圆与DC相切，圆的半径≧BC，即圆的半径≧6，矛盾！所以符合题意的圆，P点在BC上，即t≧AB/2，即t≧2。
CP=AB+BC-2t=10-2t
DQ=AD-t=8-t
所以圆直径=PQ=√(BE^2+(DQ-CP)^2)
=√(12+(t-2)^2)
显然，梯形CPQD的中位线是圆心的半径，即：
圆半径=(CP+DQ)/2=(18-3t)/2
所以：√(12+(t-2)^2)=18-3t
整理得：2t^2-26t+77=0
解得：t1=(13-√15)/2，t2=(13+√15)/2
t2＞5，不合题意，舍弃。
因此，当t=(13-√15)/2秒时，以PQ为直径的圆与CD相切。