Question

高中数学问题：如果函数f(x)=a的x次方*(a的x次方-3a的平方-1)(a>0且a不等于1)

f(x)在区间［0,+无穷）上是增函数，那么实数a的取值范围是多少？《希详细》。谢谢。

Answer 1

f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)=(a^x)^2-(3a^2+1)a^x令t=a^x,则f(x)=t^2-(3a^2+1)t是关于t的二次函数,对称轴t=(3a^2+1)/2若a>1,t=a^x是单调增的(t>=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在[1,+无穷大)上单调增∴对称轴t=(3a^2+1)/2<=1∴a^2<=1/3(舍)若0<a<1,t=a^x是单调减的(0<t<=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在)(0,1]上单调减∴对称轴t=(3a^2+1)/2>=1∴a^2>=1/3∴√3/3<=a<1综上,a的范围为[√3/3,1)

Answer 2

利用复合函数的单调性即：同增异减判断就可以了

Answer 3

f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)=(a^x)^2-(3a^2+1)a^x
令t=a^x,则f(x)=t^2-(3a^2+1)t是关于t的二次函数,对称轴t=(3a^2+1)/2
若a>1,t=a^x是单调增的(t>=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在[1,+无穷大)上单调增
∴对称轴t=(3a^2+1)/2<=1
∴a^2<=1/3(舍)
若0<a<1,t=a^x是单调减的(0<t<=1),要使f(x)在[0,+无穷大)上单调增,则t^2-(3a^2+1)t在)(0,1]上单调减
∴对称轴t=(3a^2+1)/2>=1
∴a^2>=1/3
∴√3/3<=a<1
综上,a的范围为[√3/3,1)