Question

高二数学..

已知函数f（x）=1/3x^3+ax^2-bx+1(x属于R，a，b为实数）有极值，且X=1处导数值与直线x-y+1=0平行。
1.求实数a取值范围
2.设a=1/2，f（x）的导数f’（x），令g（x）=f’（x+1）/x -3，x属于（0，正无穷)，{前面除X再减去3，不是/（X-3）}，求证g^n(x)-x^n>=2^n-2(n属于正整数）

Answer 1

1
f'(x)=x^2+2ax-b
∵曲线在X=1处的切线与直线x-y+1=0平行。
∴f'(1)=1 ∴2a-b=0 ---------------(1)
∵f(x)有极值∴x^2+2ax-b=0有2个不等实数跟
∴Δ=4a²+4b>0 ---------------------(2)
(1) (2)得： 4a²+8a>0 ∴a<-2或a>0
2
a=1/2,b=1, f'(x)=x²+x-1
f'(x+1)=(x+1)²+x=x²+3x+1
∴g(x)=(x²+3x+1)/x -3=x+1/x
gⁿ(x)-xⁿ≥2^n-2
即(x+1/x)ⁿ-xⁿ≥2^n-2
数学归纳法
n=1时，左边=1/x≥0=右边 不等式成立
n=2时，左边=2+1/x²≥2=2^2-2, 不等式成立
n≥3时，先证 （x+1/x)^n-x^n-1/x^n≥2^n-2成立

1º 左边=(x+1/x)^3-x^3=x^3+1/x^3+3x+3/x-x^3-1/x^3
=3x+3/x≥ 2√（3x*3/x)= 6=2^3-2=右边
∴不等式成立
2º 假设当n=k≥3时,不等式成立 即 (x+1/x)^k-x^k-1/x^k>=2^k-2 (#）
当n=k+1时，
(#）式左右两边同乘以(x+1/x)
(x+1/x)^(k+1)-x^k(x+1/x)-1/x^k*(x+1/x)>=(2^k-2)(x+1/x)
(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-x^(k-1)-1/x^(k-1)-1/x^(k+1)>=(2^k-2)*2√(x*1/x)=2^(k+1)-4
[(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-1/x^(k+1)]>=2^(k+1)-4+x^(k-1)+1/x^(k-1)>=2^(k+1)-4+2√x^(k-1)*1/x^(k-1)=2^(k+1)-4+2=2^(k+1)-2
即[(x+1/x)^(k+1)-x^(k+1)-1/x^(k+1)]>=2^(k+1)-2
即当n=k+1时，不等式也成立
所以[g(x)]^n-x^n-1/x^n≥2^n-2 对n≥3成立
∵[g(x)]^n-x^n>[g(x)]^n-x^n-1/x^n
∴[g(x)]^n-x^n≥2^n-2 对n≥3成立
综上所述，n∈N*,不等式总成立

Answer 2

1、f(x)=ax³＋bx²＋1，则f'(x)=3ax²＋2bx，因x=1时取得极值2，则：
f(1)=2且f'(1)=0 即：
a＋b＋1=2且3a＋2b=0
解得：a=－2，b=3，即f(x)=－2x³＋3x²＋1
2、切线斜率k=f'(－1)=－12，切点是(－1，6)，则切线方程是12x＋y＋6=0