Question

高一数学：一道向量题目

Answer 1

已知向量a=[1—cosx，2sin(x/2)]，b=[1+cosx，2cos(x/2)]。
（1）、若f(x)=2+sinx—1/4*|向量a—向量b|^2，求f(x)的表达式。
解向量a—向量b=（-2cosx，2（sin(x/2)-cos(x/2)）
|向量a—向量b|=2(（cosx）^2+1+sinx)^(1/2)
1/4*|向量a—向量b|^2=1/2(（cosx）^2+1+sinx)
f(x)=2+sinx—1/4*|向量a—向量b|^2=3/2-1/2(cosx)^2+1/2sinx
f(x)=1/2(sinx)^2+1/2sinx+1/2
（2）、若函数f(x)和函数g(x)的图像关于原点对称，求g(x)的解析式。
因为函数f(x)和函数g(x)的图像关于原点对称
设g(x)上有点（x，y）者此点关于原点的对称点为（-x，-y）
代入f（x）得
-y=1/2(sinx)^2-1/2sinx+1/2
g(x)=-1/2(sinx)^2+1/2sinx+1/2

（3）、若h(x)=g(x)—λf(x)+1在[-π/2，π/2]上是增函数，求实数λ的取值范围。
h(x)=g(x)—λf(x)+1=-1/2(sinx)^2+1/2sinx+1/2-λ(1/2(sinx)^2+1/2sinx+1/2)+1
h(x)=（-(λ+1)(sinx)^2+(1-λ)sinx+3-λ）/2
因为sinx在[-π/2，π/2]上是增函数
当λ+1=0
h（x）=sinx+2
因为sinx在[-π/2，π/2]上是增函数
所以
h（x）=sinx+2在[-π/2，π/2]上是增函数
当λ+1>0
（λ-1）/2（λ+1）>=1
无解
当λ+1<0
（λ-1）/2（λ+1）<=-1
无解
所以λ=-1