Question

如图,抛物线y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴，且经过（0,0）和（根号a，1/16）两点，

点p在该抛物线上运动，以点p为圆心的圆p总经过定点A（0,2）。
求a.b.c的值
求证：在点p运动的过程中，圆p始终与x轴相交
设圆p与x轴想教育M（x1,0），N（X2,0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心p的纵坐标

Answer 1

过(0, 0), x = 0, y = c = 0
y = ax² + bx
对称轴为y轴: x = -b/(2a) = 0, b = 0
y = ax²
x = √a, y = a² = 1/16, a = 1/4 (舍去a = -1/4, 此时抛物线不可能在x轴上方)
y = x²/4

P(p, p²/4), 圆P为(x - p)² + (y - p²/4)² = r²
x = 0, y = 2, r² = p² + (2 - p²/4)²
(x - p)² + (y - p²/4)² = p² + (2 - p²/4)²
圆心P与x轴的距离为d = p²/4
r² - d² = p² + (2 - p²/4)² - (p²/4)² = p² + (2 - p²/4 + p²/4)(2 - p²/4 - p²/4)
= p² + 2(2 - p²/2)
= 4 > 0
圆总与x轴相交

圆P 可以变为(x - p)² + y² - p²y/2 = 4
令y = 0, (x - p)² = 4
x = 2 + p或x = -2 + p
M(-2 + p, 0), N(2 + p, 0), A(0, 2)
(i) AM = AN
A须在MN的中垂线上, p = 0, P(0, 0)
(ii) MA＝ MN
(p - 2 - 0)² + (0 - 2)² = (p + 2 - p + 2)²
p = 2 ±2√3, P(2 ±2√3, 4 ±2√3)
(iii) NA = NM
结果与(ii)相同。

追问

请问辅助线是哪条

追答

应当不用辅助线