Question

设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，满足a²(n+1)=4Sn+4n+1,n∈N*,且a2,a5,a14

恰好是等比数列｛bn｝的前三项
（1）求数列｛an｝｛bn｝的通项公式
（2）记数列｛bn｝的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,(Tn+3/2)k≥3n-6恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

解：1、由：a²(n+1)=4Sn+4n+1...(1),得：a²n=4S(n-1)+4(n-1)+1....(2); 注意到：Sn-S(n-1)=an; (1)-(2),得：a²(n+1)-a²n=4an+4, 即：a²(n+1)=a²n+4an+4=(a+2)²; a(n+1)=+/-(an+2); 因为数列各项均为正数，所以，负值不合题意，舍去;a(n+1)=an+2。
当a(n+1)=(an+2)时，即a(n+1)-an=2，为等差数列：S1=a1=[(a1+2)²-5]/4=(a²1+4a-1)/4; a1=+/-1; a1=-1(不合题意，舍去)；对于a1=1，an=1+2(n-1)=2n-1; b1=a2=2*2-1=3, b2=a5=2*5-1=9; b3=a14=2*14-1=27, 公比q=3，bn=3q^(n-1)。
所求的数列为： an=2n-1, bn=3q^(n-1);
2、Tn=3(1-q^n)/(1-q)=3(3^n-1)/2;Tn+3/2=3*3^n;对于k(Tn+3/2)=3k3^n>=3n-6=3(n-2);
即：k3^n>=n-2....(3);在n<=2时，右式<=0，k>0即可；当n=3时，右式=1，左式=3*3*3k=27k>=1; 只要k>=1/27,就可以满足式（3）;由于函数：f(x)=k3^x-x+2，f'(x)=kln3*3^x-1>0, f(x)是增函数，f''(x)=(ln3)²k3^x, 恒大于0，凹面朝上，说明方f(x)随着x(n)值的增加而增大。所以，只要k>=1/27, 在n∈N*的条件下，式（3）恒成立，也就是k∈[1/27,+∞)；k(Tn+3/2)>=3n-6恒成立。

Answer 2

1、
4S1=a²2-4*1-1
S1=a1
a²2=4a1+5
a2=√（4a1+5）

2、
an=Sn-S（n-1）
4an=4Sn-4S（n-1）
=a²（n+1）-4n-1-[a²n-4（n-1）-1]
=a²（n+1）-4-a²n
a²n+4an+4=a²（n+1）
（an+2）²=a²（n+1）
各项均匀为正数
an+2=a（n+1）
a1+2=a2=√（4a1+5）
a1²+4a1+4=4a1+5
a1=1
{an}是一个首项是1，公差是2的等差数列
an=2n-1

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