Question

求(sin2/x+cos1/x)^x的极限，当x趋向于无穷

求(sin2/x+cos1/x)^x的极限，当x趋向于无穷

Answer 1

记 t=1/x，先计算lim(t→0)ln(sin2t+cost)/t (0/0)= lim(t→0)(2cos2t-sint)/(sin2t+cost)= 2。

例如：

sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。

所以sin(2π-α)=-sinα。

规律：

公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值。

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变。

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）。

Answer 2

　　记 t=1/x，
　　先计算
　　　lim(t→0)ln(sin2t+cost)/t (0/0)
　　= lim(t→0)(2cos2t-sint)/(sin2t+cost)
　　= 2，　　
则
　　　lim(x→∞)[sin(2/x)+cos(1/x)]^x
　　= lim(t→0)(sin2t+cost)^(1/t)
　　= e^lim(t→0)ln(sin2t+cost)/t
　　= e^2。