Question

一道超难数学题，求解答！

ABC是正三角形,△A1B1C1的边A1B1、B1C1、A1C1交△ABC各边分别于C2、C3、A2、A3、B2、B3。已知A2C3=C2B3=B2A3，且C2C3^2=B2B3^2=A2A3^2.求证A1B1垂直A1C1.

Answer 1

证明：如图，过A₂作C₃C₂的平行线交过C₂所作C₃A₂的平行线于点O，连接OA₃、0B₃，
∴A₂OC₂C₃是平行四边形，
∴A₂O∥C₃C₂，且A₂O=C₃C₂，OC₂∥A₂C₃且OC₂=A₂C₃=B₃C₂，
∴△OB₃C₂是正三角形，
∴∠OB₃C₂=60°=∠B，
∴OB₃∥A₃B₂，
又∵0B₃=B₃C₂=A₃B₂，
∴OB₃B₂A₃是平行四边形，
∴OA₃∥B₃B₂且OA₃=B₃B₂，
∵C₂C₃²+B₂B₃²=A₂A₃²，
∴OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
在△A₂OA₃中，
∵OA₂²+OA₃²=A₂A₃²，
∴由勾股定理的逆定理得∠A₂OA₃=90°，
∵已证OA₃∥B₃B₂，即OA₃∥A₁C₁，A₂O∥C₃C₂，即A₂O∥B₁A₁，
∴∠C₁A₁B₁=90°，
∴A₁B₁⊥C₁A₁．