Question

如图,在正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交BD于F,CD于H,G为EH中点,求证:FC⊥CG

Answer 1

证明：因为AD=DC

∠ADF=∠CDF=45°

DF=DF

∴△ADF≅△CDF

∴∠DAF=∠DCF

因为AD∥BC

∴∠DAH=∠E

∴∠DCF=∠E

因为GH=GE

∠HCE=RT∠

∴GH=GC=GE

∴∠GCE=∠E

∴∠DCF=∠GCE

∴∠DCF+∠HCG=∠GCE+∠HCG=90°

即∠FCG=90°

∴FC⊥CG

Answer 2

证明：

       在正方形ABCD中，

     ∵  ∠ABC=∠BAD=90°（正方形四个角都为90°）

     又∵BD为对角线，所以∠ADB=∠CDB（正方形对角线平分对角）

    ∴在△ADF与△CDF中

        AD=CD（正方形的性质）

        ∠ADB=∠CDB

        DF=DF（公共边）

      ∴△ADF≌△CDF（S.A.S）

        ∴∠DAF=∠DCF（全等三角形对应角相等）

         ∴∠FAB=∠FCB（等角的余角相等）

        ∵∠ABC=90°

         ∴∠FAB+∠AEB=90°

         ∠DCF+∠FCB=90°

         又∵∠FAB=∠FCB   

        ∴∠FAB+∠AEB=∠  ∠DCF+∠FAB

            ∴∠AEB=∠DCF（等式的性质）

           又∵∠DCE=90°G为EH中点

          ∴GC=1/2EH=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

            ∴∠GCE=∠AEB（等角对等边）

      又∵∠AEB=∠DCF

          ∴∠DCF=∠GCE

          ∵∠GCE+∠GCH=90°

          ∴∠DCF＋∠GCH=90°

          即FC⊥CG