Question

为什么在对积分上限函数求导时被积函数里不能含有积分上限里的变量？

Answer 1

∵积分时，被积函数里含有的积分上限里的变量被看成了常数。
而求导时，是对积分上限里的变量求导。
∴被积函数里不能含有积分上限里的变量。
设函数y=f(x)
在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x]
上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数。
扩展资料：
从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。
变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
参考资料来源：搜狗百科——积分上限函数

Answer 2

如果在这种情况下直接求导数会出错。理由很简单：书本上关于求变积分上限导数的基本形式是：

。这个形式里的F(t)是不含x的。如果题目中的F(t)含有x（如：F(tx)），只能对后面的积分变量t进行变换，使之与被积函数的变量具有相同的形式，最后使用换元法完成替换。比如：

Answer 3

∵积分时，被积函数里含有的积分上限里的变量被看成了常数。
而求导时，是对积分上限里的变量求导
∴被积函数里不能含有积分上限里的变量