Question

已知函数f(x)=ax2+bx+1/4与直线y=x相切与点A（1,1）,若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)<=x恒成立，则

所有满足条件的实数t组成的集合为

Answer 1

函数f(x)=ax^2+bx+1/4与直线y=x相切与点A（1,1）
得出两个信息：
f(1)=1，f'(1)=1
f'(x)=2ax+b
所以a+b+1/4=1 2a+b=1
a=1/4 b=1/2
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4=1/4(x+1)^2
f(x-t)<=x对任意x∈[1,9]恒成立
所以1/4(x-t+1)^2<=x
-2√x<=x-t+1<=2√x
x-2√x+1<=t<=x+2√x+1
(√x-1)^2<=t<=(√x+1)^2 对任意x∈[1,9]恒成立
也就是max{(√x-1)^2}<=t<=min{(√x+1)^2}
1<=x<=9 1<=√x<=3
所以max{(√x-1)^2}=(3-1)^2=4 min{(√x+1)^2}=(1+1)^2=4
所以4<=t<=4
那么t=4
所以所有满足条件的实数t组成的集合为{4}