已知A是3×3矩阵，A²=E,A≠±E,求证(R(A+E)-1)(R(A-E)-1)=0
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证明:
由已知
r(a+e)+r(a-e)=n
所以
(n-r(a+e))+(n-r(a-e))
=
n
所以
(a+e)x=0
与
(a-e)x=0
的基础解系共含n个向量
所以a的特征值只能是1或-1
所以a的属于可能的特征值1和-1的线性无关的特征向量有n个
故a可相似对角化为
diag(±1,±1,...,±1)
所以存在可逆矩阵p使得
a=p^-1diag(±1,±1,...,±1)p
所以
a^2=p^-1diag(±1,±1,...,±1)^2p=e
由已知
r(a+e)+r(a-e)=n
所以
(n-r(a+e))+(n-r(a-e))
=
n
所以
(a+e)x=0
与
(a-e)x=0
的基础解系共含n个向量
所以a的特征值只能是1或-1
所以a的属于可能的特征值1和-1的线性无关的特征向量有n个
故a可相似对角化为
diag(±1,±1,...,±1)
所以存在可逆矩阵p使得
a=p^-1diag(±1,±1,...,±1)p
所以
a^2=p^-1diag(±1,±1,...,±1)^2p=e
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