Question

A=0 -1 1 -1 0 1 1 1 0（一个三阶矩阵），求一个正交矩阵P使P^-1AP=B为对角阵。

Answer 1

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
-λ
-1
1
-1
-λ
1
1
1
-λ
第2行减去第1行，第3行加上第1行*λ
=
-λ
-1
1
-1+λ
-λ+1
0
1
1
-λ
第2列加上第1列
=
-λ
-1-λ
1
-1+λ
0
0
1
2
-λ
按第2行展开
=(-1+λ)(λ²+λ-2)=0
解得λ=1，1，-2
当λ=1时，
A-E=
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
第1行加上第3行，第2行加上第3行，交换第1和第3行
～
1
1
-1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,0,1)^T和(0,1,1)^T
正交化为(1,0,1)^T和(-1,2,1)^T
当λ=
-2时，
A+2E=
2
-1
1
-1
2
1
1
1
2
第1行加上第2行*2，第2行加上第3行
～
0
3
3
0
3
3
1
1
2
第1行减去第2行，第2行除以3，第3行减去第2行
~
0
0
0
0
1
1
1
0
1
交换第1和第3行
~
1
0
1
0
1
1
0
0
0
得到特征向量(-1,-1,1)^T
再对特征向量进行单位化
分别得到
(1/√2,0,1/√2)^T，(-1/√6,2/√6,1/√6)^T，(-1/√3,-1/√3,1/√3)^T
于是正交矩阵P为
1/√2
-1/√6
-1/√3
0
2/√6
-1/√3
1/√2
1/√6
1/√3

Answer 2

2不是a的特征值
-2
是a的特征值
当齐次线性方程组只有零解时
一定某个地方计算有误
需检查特征值,
系数矩阵,
初等变换的过程

Answer 3

简单计算一下，答案如图所示