Question

若动点P在直线x-y-2=0上 Q在直线x-y-6=0上 设PQ中点为M(x0,y0) 且(x0-2)^2+(y0+2)^2≤8

求x0^2+y0^2的范围

Answer 1

假设P点坐标为(xp，yp)，Q点的坐标为(xq，yq)，则中点M的坐标为：
x0=(xp+xq)/2
y0=(yp+yq)/2=(xp-2+xq-6)/2=x0-4
即x0-y0-4=0
所以，M在直线x-y-2=0和直线x-y-6=0的正中间。
由条件(x0-2)^2+(y0+2)^2≦8知：
M点在以(2，-2)为圆心，以√8=2√2为半径的圆内，该圆和直线x0-y0-4=0的交点恰好在x轴和y轴上，即(4，0)点和(0，-4)点。
这两点和原点构成直角等腰三角形，原点到M点的最小距离为：
√(x0^2+y0^2)=圆半径=2√2
原点到M点的最大距离为：
√(x0^2+y0^2)=圆和x轴交点=4
所以：
(2√2)^2≦x0^2+y0^2≦4^2，即：
8≦x0^2+y0^2≦16

Answer 2

解：直线x-y-2=0与直线x-y-6=0平行，PQ中点M在直线x-y-4=0上，x0-y0=4；
又(x0-2)^2+(y0+2)^2≤8，
x0^2-4x0+4+y0^2+4y+4≤8
x0^2+y0^2≤4(x0-y0)
x0^2+y0^2≤16 ；
又x0-y0=4，k=1；
当x0=y0=2时，
x0^2+y0^2=8最小；
8≤x0^2+y0^2≤16 。

Answer 3

因为x-y-2=0和x-y-6=0平行，所以中点M一定在他们之间的平行线x-y-4=0上，
所以x0^2 - 4x0 + 4 + y0^2 + 4y0 + 4 = x0^2 + y0^2 - 4(x0 - y0) + 8 <= 8;
x0^2 + y0^2 <= 4(x0 - y0) = 4 * 4 = 16 (因为x0,y0是直线x - y - 4 = 0上的点)，同时x0^2 + y0^2 >=0;所以0 < x0^2 + y0^2 < 16

Answer 4

因为x-y-2=0和x-y-6=0平行，所以中点M一定在他们之间的平行线x-y-4=0上，
所以x0^2 - 4x0 + 4 + y0^2 + 4y0 + 4 = x0^2 + y0^2 - 4(x0 - y0) + 8 <= 8;
x0^2 + y0^2 <= 4(x0 - y0) = 4 * 4 = 16 (因为x0,y0是直线x - y - 4 = 0上的点)，同时x0^2 + y0^2 >=0;所以0 < x0^2 + y0^2 < 16